هايبرد مونتي كارلو التكامل على المسار للهزازات الكمية

Abstract

Monte Carlo methods rely on random sampling to study complex physical and mathematical ‎problems and are particularly effective for evaluating multidimensional integrals and simulating ‎various systems. This dissertation investigates the path integral formulation of quantum mechanics ‎and its application to the quantum harmonic oscillator, presenting its theoretical foundations and ‎the transition to Euclidean time, which makes numerical treatment possible. The conventional ‎Monte Carlo method and the Hybrid Monte Carlo (HMC) method, based on Hamiltonian dynamics ‎and the Metropolis algorithm, are implemented and compared. A comparison between the two ‎methods is carried out in terms of accuracy, statistical efficiency, and autocorrelation behavior. The ‎results show good agreement with the analytical solutions, while the HMC method demonstrates ‎superior performance by reducing autocorrelation and improving the quality of numerical results. ‎The study also confirms the effectiveness of the path integral formulation as a powerful tool for ‎simulating quantum systems and extracting their physical properties. These findings open the way ‎for applying such methods to more complex quantum systems.‎تعتمد طرق مونتي كارلو على المعاينة العشوائية لدراسة المسائل الفيزيائية والرياضية المعقدة، وتتميز بقدرتها على حساب ‏التكاملات متعددة الأبعاد ومحاكاة الأنظمة المختلفة. تتناول هذه المذكرة دراسة صياغة التكامل على المسار في ميكانيك الكم ‏وتطبيقها على الهزاز التوافقي الكمومي، مع عرض أسسها النظرية والانتقال إلى الزمن الإقليدي لجعلها قابلة للمعالجة العددية. ‏كما تم تطبيق طريقة مونتي كارلو التقليدية ثم طريقة مونتي كارلو الهجينة‎ (HMC) ‎المعتمدة على الديناميكا الهاملتونية ‏وخوارزمية ميتروبوليس. وقد أُجريت مقارنة بين الطريقتين من حيث الدقة والكفاءة الإحصائية وسلوك الارتباط الذاتي. ‏وأظهرت النتائج توافقًا جيدًا مع الحلول التحليلية، مع تفوق طريقة‎ HMC ‎في تقليل الارتباط الذاتي وتحسين جودة النتائج العددية. ‏كما أكدت الدراسة فعالية صياغة التكامل على المسار كأداة قوية لمحاكاة الأنظمة الكمومية واستخراج خواصها الفيزيائية. وتفتح ‏هذه النتائج آفاقًا لتطبيق هذه الطرق على أنظمة كمومية أكثر تعقيدًا