Invariant Curves and Limit Cycles in Planar Vector Fields

Abstract

L'objectif explicite de cette thèse est de synthétiser le raffinement algébrique avec la monotonie des champs de vecteurs rotatifs (Duff, 1953 ; Perko, 1991), les quantités de foyer de Bautin (Bautin, 1952) et la théorie de l'indice de Poincaré. Cette synthèse multicouche est stratégiquement conçue pour appliquer le suivi des bifurcations globales et les contraintes de stabilité locale, servant ultimement à démontrer rigoureusement le théorème de non-coexistence en prouvant que des cycles limites algébriques et non algébriques simultanés créent des contradictions topologiques. Mots-clés : Cycle limite – courbes algébriques invariantes – 16e problème de Hilbert – systèmes polynomiaux

planaires.The explicit objective of this thesis is to synthesize algebraic refinement with rotated vector field monotonicity (Duff, 1953; Perko, 1991), Bautin focus quantities (Bautin, 1952) and Poincaré index theory. This multi-layered synthesis is strategically designed to enforce global bifurcation tracking and local stability constraints, ultimately serving to rigorously demonstrate the non-coexistence theorem by proving that simultaneous algebraic and non-algebraic limit cycles create topological contradictions.