Finite Fields and Their Applications

Abstract

This thesis aims to analyze finite fields, both theoretically and practically, emphasizing their algebraic structure and their applications in various fields such as cryptography and coding theory. We first introduced the fundamental concepts related to groups, rings, and fields, then we presented finite fields in detail, describing their characteristics and providing concrete examples. Subsequently, we examined key applications such as the design of error-correcting

codes and some cryptographic algorithms. The theoretical content is accompanied by practi- cal examples to demonstrate the importance of these structures in applied mathematics.

This project falls within the field of abstract algebra and highlights the significance of Ce memoire vise ́ a analyser les corps finis, sur le plan th ` eorique et pratique, en soulignant ́ leur structure algebrique et leurs usages dans divers domaines comme la cryptographie et ́ la theorie des codes. Nous avons tout d’abord expos ́ e les concepts fondamentaux relatifs ́ aux groupes, anneaux et corps, ensuite nous avons present ́ e les corps finis en d ́ etaillant leurs ́ caracteristiques et en fournissant des exemples concrets. Par la suite, nous avons examin ́ e des ́ applications fondamentales comme la creation de codes de correction d’erreurs et quelques ́ algorithmes de cryptographie. Le contenu theorique est assorti d’exemples pratiques pour ́ demontrer l’importance de ces structures en math ́ ematiques appliqu ́ ees. ́ Ce projet s’inscrit dans le domaine de l’algebre abstraite et souligne l’importance des ` corps finis en mathematiques et en informatique. ́