A Study of Convergence and Semi-Continuity of Functions in Metric Spaces

Abstract

"The main objective of this thesis is to study the relationship between different types of convergence of sequences of functions and the preservation of semicontinuity in metric spaces. The central question is: under what conditions does the limit function preserve the semicontinuity of the sequence? The thesis is divided into four chapters. The first chapter presents the fundamental concepts of metric spaces and continuity. The second chapter introduces the types of convergence: pointwise, uniform, and compact convergence. The third chapter studies in detail semicontinuity and lower and upper semicontinuous functions, with their characterizations and properties. The fourth chapter contains applied exercises, examples, and additional remarks that integrate and apply what has been studied in the previous chapters. The main results are: - Pointwise convergence does not preserve lower semicontinuity. - Uniform convergence preserves both lower and upper semicontinuity. - Monotone pointwise limits preserve lower semicontinuity. The thesis concludes that the link between convergence and semicontinuity is determined by the type of convergence used, and that uniform convergence is the strongest guarantee for preserving semicontinuity. "تهدف هذه الأطروحة بشكل أساسي إلى دراسة العلاقة بين أنواع تقارب متتابعات الدوال المختلفة والحفاظ على شبه الاستمرارية في الفضاءات المترية. والسؤال المحوري هو: ما هي الشروط التي تحافظ بموجبها دالة النهاية على شبه استمرارية المتتابعة؟ تنقسم الأطروحة إلى أربعة فصول. يعرض الفصل الأول المفاهيم الأساسية للفضاءات المترية والاستمرارية. ويُعرّف الفصل الثاني أنواع التقارب: التقارب النقطي، والتقارب المنتظم، والتقارب المتراص. ويتناول الفصل الثالث بالتفصيل شبه الاستمرارية والدوال شبه المستمرة من الأسفل والأعلى، مع خصائصها ومميزاتها. يحتوي الفصل الرابع على تمارين تطبيقية، وأمثلة، وملاحظات إضافية تُدمج وتُطبّق ما دُرِس في الفصول السابقة. النتائج الرئيسية هي: - لا يحافظ التقارب النقطي على شبه الاستمرارية من الأسفل. - يحافظ التقارب المنتظم على كلٍّ من شبه الاستمرارية من الأسفل والأعلى. - تحافظ النهايات النقطية الرتيبة على شبه الاستمرارية من الأسفل. تخلص هذه الأطروحة إلى أن العلاقة بين التقارب وشبه الاستمرارية تتحدد بنوع التقارب المستخدم، وأن التقارب المنتظم هو الضمان الأقوى للحفاظ على شبه الاستمرارية. "