Résolution faible d’un problème fractionnaire de contact viscoélastique avec compliance normal

Abstract

Dans ce travail, nous avons ´etudi´e un probl`eme math´ematique complexe mod´elisant un ph´enom`ene de contact visco´elastique avec compliance normale en incorporant des d´eriv´ees fractionnaires dans le temps. Ce type de probl`eme trouve des applications concr`etes dans la mod´elisation des mat´eriaux pr´esentant une m´emoire longue, notamment dans le cadre des mat´eriaux polym`eres, des structures biom´ecaniques ou encore des interfaces en g´enie civil. L’introduction de la d´eriv´ee fractionnaire permet une repr´esentation plus fid`ele du comportement visco´elastique `a long terme, en tenant compte de l’historique de d´eformation du mat´eriau. Nous avons formul´e le probl`eme dans un cadre fonctionnel abstrait en utilisant les outils de l’analyse convexe, des ´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires et de la m´ecanique du contact. Plus pr´ecis´ement, nous avons prouv´e l’existence d’une solution faible en exploitant des m´ethodes de r´egularisation, de passage `a la limite, et d’approximation discr`ete temporelle. Le d´efi principal a r´esid´e dans le traitement de la non-lin´earit´e induite par la condition de contact, combin´ee avec la nature non locale de l’op´erateur fractionnaire. L’originalit´e de notre approche repose sur l’int´egration coh´erente de la compliance normale, mod´elis´ee comme une loi constitutive non lin´eaire sur la fronti`ere de contact, ce qui a permis d’obtenir un mod`ele plus r´ealiste et physiquement pertinent. Nous avons ´egalement ´etabli certaines propri´et´es qualitatives de la solution, notamment sa stabilit´e et sa d´ependance continue par rapport aux donn´ees du probl`eme. Ce travail ouvre la voie `a plusieurs perspectives de recherche. D’une part, l’´etude num´erique de ce type de probl`emes reste un d´efi ouvert, et le d´eveloppement de m´ethodes d’´el´ements finis adapt´ees aux d´eriv´ees fractionnaires serait un prolongement naturel. D’autre part, la g´en´eralisation `a des probl`emes de contact dynamiques, incluant des termes inertiels et ´eventuellement des frottements tangents, repr´esente une direction prometteuse. En-