The Maximum Principle : Theoretical and Numerical Applications

Abstract

تهدف هذه المذكرة إلى دراسة مبدأ القيم العظمى في المعادالت التفاضلية الجزئية مع إبراز أهميته النظرية والتطبيقية. تم في البداية تقديم المفاهيم األساسية المتعلقة بالمعادالت التفاضلية الجزئية، فضاءات سوبوالف، والحلول الضعيفة. بعد ذلك تم التطرق إلى مبدأ القيم العظمى الضعيف والقوي مع عرض بعض النتائج األساسية مثل مبرهنة ووحدانية الحلول. كما تناولت الدراسة تطبيقات هذا المبدأ على معادلة الحرارة وبعض مسائل القيم الحدية. وفي الجانب العددي، تم اعتماد طرق تقريبية لدراسة سلوك الحلول والتحقق من النتائج النظرية بواسطة المحاكاة والرسم البياني. أظهرت النتائج توافق الحلول العددية مع الخصائص النظرية لمبدأ األعظمية، مما يؤكد فعاليته في تحليل المعادالت التفاضلية الجزئية ودراسCe mémoire a pour objectif d’étudier le principe du maximum dans les équations aux dérivées partielles tout en mettant en évidence son importance théorique et pratique. Dans un premier temps, les notions fondamentales relatives aux équations aux dérivées partielles, aux espaces de Sobolev et aux solutions faibles ont été présentées. Ensuite, le principe du maximum faible et fort a été étudié, avec l’exposition de quelques résultats fondamentaux tels que le lemme de Hopf et l’unicité des solutions. Cette étude aborde également les applications de ce principe à l’équation de la chaleur ainsi qu’à certains problèmes aux limites. Sur le plan numérique, des méthodes d’approximation ont été adoptées afin d’étudier le comportement des solutions et de vérifier les résultats théoriques à l’aide de simulations et de représentations graphiques. Les résultats obtenus ont montré la concordance des solutions numériques avec les propriétés théoriques du principe du maximum, ce qui confirme son efficacité dans l’analyse des équations aux dérivées partielles et dans l’étude deة استقرار حلولها.