On the time behavior of some thermos-elastic problems with various laws of thermal effects

Abstract

Summary In this thesis, we study the long-time behavior of certain truncated porous thermoelastic systems, which are free from the adverse effects associated with the second spectrum of the frequencies. We examine four problems involving different heat effect conduction laws, and prove exponential stability result for each system. In the first problem, heat conduction is governed by the classical Fourier law, resulting in a hyperbolic-parabolic coupling. In the second problem, the thermal disturbance is described by the Cattaneo law, leading to a problem characterized bysecond-sound heat conduction. The third problem consists hereditary heat conduction governed by the Gurtin-Pipkin law. Finally, the fourth system addresses a porous thermoelastic system in which heat conduction follows the type III model introduced by Green and Naghedi. For all the problems, well-posedness is established using a semigroup approach along with the Hille-Yosida and Lax-Milgram theorems. Additionally, stability is achieved by employing the multiplier method and Lyapunov functionals. الملخص: تتناول هذه الأطروحة دراسة السلوك بعيد المدى لبعض أنظمة المرونة الحرارية المسامية المبتورة، والتي تخلو من التأثيرات السلبية المرتبطة بالطيف الثاني للترددات. تم تحليل أربع مسائل تختلف في قوانين التأثيرات الحرارية، مع اثبات خاصية الاستقرار الأسي لكل نظام على حدة. في المسألة الأولى، تخضع عملية انتقال الحرارة لقانون فورييه الكلاسيكي (law Fourier)، مما يؤدي اقتران زائدي-قطعي. أما في المسألة الثانية، فيوصف الاضطراب الحراري وفق قانون كاتانيو (law Cattaneo)، مما ينتج نموذجا يمثل ظاهرة الصوت الثاني في المرونة الحرارية. وتتناول المسألة الثالثة انتقال الحرارة بتأثير الذاكرة المحكوم بقانون غورتن- بيبكين (Gurtin-Pipkin). في حين يدرس النظام الرابع نموذجا لمسألة حرارية مسامية لزجة يعتمد انتقال الحرارة قيها على نموذج من النوع الثالث الذي قدمه غرين وناجدي (Naghdi and Green). تم إثبات وجود ووحدانية الحلول لجميع الأنظمة المدروسة باستخدام منهج أنصاف الزمر، بالاستعانة بنظريي (Hille-Yocida) و (Lax-Milgram). كما تم تحقيق نتائج الاستقرار الأسي باستعمال طريقة المضاعف ودوال ليابونوف .( functionals Lyapunov )