Introduction `a la Th´eorie des Distributions et l’Analyse de Fourier

Abstract

Ce polycopié propose une introduction structurée à la théorie des distributions et à l’analyse de Fourier. Après un rappel des notions fondamentales de l’intégration de Lebesgue et des espaces , il présente les principaux espaces fonctionnels utilisés en analyse, notamment les espaces , les fonctions test et les espaces . La théorie des distributions est ensuite développée à travers ses définitions, exemples fondamentaux, propriétés de convergence et notion de support. Les opérations essentielles suivante sur les distributions sont également abordées :dérivation, multiplication, translation, dilatation et convolution . Enfin, le document expose de manière détaillée la transformation de Fourier, d’abord pour les fonctions intégrables puis dans , avant d’aborder les espaces de Schwartz et les distributions tempérées . Cette dernière section aboutit à la définition rigoureuse de la transformée de Fourier pour les distributions tempérées, mettant en lumière son rôle central dans l’analyse moderne. يهدف هذا الدرس إلى تقديم مدخل منهجي إلى نظرية التوزيعات وتحويل فورييه. يبدأ العرض بتذكير موجزلمفاهيم تكامل لوبيغ والفضاءات ، ثم يعرض أهم الفضاءات الدالّية المستعملة في التحليل ولا سيّما و الدوال الإختبارية والفضاءات . بعد ذلك، تُعرض نظرية التوزيعات من خلال تعريفاتها وأمثلتها الأساسية وخصائص التقارب ومفهوم الحامل. كما نتناول أهم العمليات على التوزيعات، مثل الاشتقاق والضرب والازاحة والالتفاف. ويُختتم الدرس بدراسة تحويل فورييه، أولًا للدوال القابلة للتكامل، ثم في الفضاء قبل الانتقال إلى فضاء شوارتز والتوزيعات المعتدلة ، بما يسمح بصياغة تحويل فورييه للتوزيعات صياغة دقيقة وموحّدة. ويمنح هذا العرض إطارًا رياضيًا متكاملًا يمهّد لفهم معمّق للتقنيات والأدوات التحليلية المستعملة في الرياضيات المعاصرة.