Analysis of certain degenerate nonlinear reaction-diffusion systems

Abstract

In this thesis, we investigate the blow-up dynamics of solutions to a semilinear degenerate parabolic reaction–diffusion system, in which the degeneracy arises in the time derivative. Under suitable conditions on the initial data, we establish the occurrence of finite-time blow-up. To complement the theoretical analysis, we design and implement a finite-difference numerical scheme in MATLAB to approximate the solution of the discretized system. The numerical simulations capture the development of sharp spatial gradients and pronounced peaks near the blow-up region, offering valuable insight into the formation and structure of the blow-up profile. This computational study constitutes a preliminary step toward the precise identification and characterization of the blow-up set. الملخص: في هذه الأطروحة، قمنا بدراسة ديناميكيات الانفجار لحلول الأنظمة شبه الخطية المكافئة من التفاعل والانتشار المتدهور، حيث ينشأ الانفجار في المشتق الزمني. في ظل ظروف مناسبة للشروط الابتدائية، نحدد زمن حدوث الانفجار. ولإكمال التحليل النظري، قمنا بتصميم وتطبيق مخططًا عدديًا للفروق المحدودة في MATLAB لتقريب حل الجملة الخطية. تلتقط عمليات المحاكاة العددية تطور التدرجات المكانية الحادة والقمم البارزة بالقرب من منطقة الانفجار، مما يوفر رؤى قيّمة حول تكوين وبنية نمط الانفجار. تُشكل هذه الدراسة الحسابية خطوة أولية نحو التحديد الدقيق لمجموعة الحلول المنفجرة وتوصيفها.