Sur les opérateurs normaux et leurs applications

Abstract

Résumé: Cette thèse s’inscrit dans le cadre des espaces de Hilbert et de la théorie des opérateurs. Elle porte sur les opérateurs linéaires bornés définis sur un espace de Hilbert complexe H, en particulier sur la classe des opérateurs C-normaux, qui généralisent naturellement les opérateurs C-symétriques. Plusieurs propriétés fondamentales de cette classe sont établies. Nous montrons notamment que si un opérateur T est C-symétrique, alors Tn est C-normal pour tout entier positif n. Des conditions suffisantes garantissant la stabilité de la C-normalité par la somme, le produit et le produit tensoriel sont également données. Par ailleurs, nous introduisons et étudions les opérateurs 2-C-normaux et C-2-normaux. Nous analysons leur comportement par rapport à l’adjoint, à l’inverse et à la multiplication par un scalaire complexe, et montrons qu’ils ne sont pas équivalents aux opérateurs C-normaux. Certains résultats antérieurs sont étendus à ces classes, en s’appuyant en particulier sur la décomposition polaire, et l’on présente divers exemples illustratifs afin de mettre en évidence la portée et la pertinence de ces généralisations. : تندرج هذه الأطروحة ضمن إطار فضاءات هيلبرت ونظرية المؤثرات. وتركز على المؤثرات الخطة المحدودة المعرفة على فضاء هيلبرت عقدي H، وتحديدًا على فئة المؤثرات C-العادية، التي تُعمم بشكل طبيعي المؤثرات C-المتناظرة. وقد تم إثبات العديد من الخصائص الأساسية لهذه الفئة. على وجه الخصوص، نُبين أنه إذا كان المؤثر T متناظرًا C، فإن Tn يكون C-عاديًا لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n. كما نُقدم شروطًا كافية لضمان استقرار C-العادية تحت الجمع والضرب والضرب الموتري. علاوة على ذلك، نُقدم وندرس المؤثرات 2-C-العادية و C-2-العادية. ونحلل سلوكها بالنسبة للمُرافق والمعكوس والضرب بعدد قياسي عقدي، ونُبين أنها لا تُكافئ المؤثرات C-العادية. وقد تم توسيع بعض النتائج السابقة لتشمل هذه الفئات، بالاعتماد بشكل خاص على التحليل القطبي، كما تم تقديم أمثلة توضيحية متنوعة لتسليط الضوء على نطاق وأهمية هذه التعميمات.